Logaritma
Pengertian logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebgai : alog b= c dengan syarat a > 0 dan α ≠ 1
Pada sebuah penulisan logaritma alog b = c,a disebut bilangan pokok dan b disebut bilngan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b>0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b=c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dengan penulisannya dapat singkat menjadi In, misalnya elog b = c menjadi: In b = c
Berikut ini sejumlah contoh logaritma:
- alog a = 1
- alog 1 = 0
- a^nlog bm = (m/n) x alog b
- a^mlog bm = alog b
- alog b = 1/blog a
- alog b = (klog b)/(klog a)
- a^(alog b) = b
- alog b + alog c = alog (bc)
- alog b – alog c = alog (b/c)
- alog b . blog c = alog c
- alog (b/c) = – alog (c/b)
Sifat-Sifat Logaritma
1. Sifat logaritma dari perkalian.
suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:
alog p.q = alog p + alog q.
dengan syarat a > 0, ≠ 1, p > 0, q > 0.
2. Perkalian Logaritma
Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerusnya logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritmanya:
alog b x blog c = alog c.
Dengan syarat a > 0, α ≠ 1.
3. Sifat Logaritma dari pembagian
Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerusnya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerusnya logaritma awal. Berikut modelnya :
alog = alog p – alog q
dengan syarat a > 0, α ≠ 1, p > 0, q > 0.
4. Sifat logaritma berbanding terbalik
Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain memiliki nilai bilangan pokok dan numerusnya saling bertukaran. Berikut modelnya:
alog b = . dengan syarat a > 0, α ≠ 1.
5. Logaritma berlawanan tanda.
Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerusnya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:
alog = bP = p. alog .
Dengan syarat a > 0, α ≠ 1, p > 0, q > 0.
7. Sifat logaritma dari perpangkatan
Suatu logaritma dengan nilai numerusnya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkat nya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :
alog bP = p. alog b.
Dengan syarat a > 0, α ≠ 1, b > 0
8. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma
Suatu logaritma dengan bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya : log b = logb
Dengan syarat a > 0, α ≠ 1.
Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus
Suatu logaritma dengan nilai numerusnya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritmanya : alog aP = p.
Dengan syarat a > 0 dan α ≠ 1.
9. Perpangkatan logaritma
Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya :
aalogm= m
dengan syarat a > 0, α ≠ 1, m > 0.
10. Mengubah basis logaritma
Suatu logaritma dapat di pecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut :
plog q =
dengan syarat a > 0, α ≠ 1, p > 0, q > 0
Contoh soal logaritma 1
Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. Maka nilai dari 3log 245 ½ adalah .....?
Pembahasan 1
3log 245 ½ = 3log ( 5 x 49) ½
3log 245 ½ = 3log ((5)1/2 x (49) ½)
3log 245 ½ = 3log (5)1/2 +3log (72) ½
3log 245 ½ = ( 3log 5 + 3log 7)
3log 245 ½ = (x + y )
Jadi nilai dari 3log 245 ½ adalah (x + y ).
Contoh soal logaritma 2
Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah ....?
Pembahasan 2
Diketahui bahwa b = a4, maka dapat distribusi kedalam perhitungan :
alog b – blog a = alog a4 – a4 log a
alog b – blog a = 4 (alog a ) - ( alog a )
alog b – blog a = 4 -
alog b – blog a = 3
jadi nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3.
Contoh soal logaritma 3
Jika alog (1-3log ) = 2, maka tentukanlah nilai a.
Pembahasan 3.
Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2 = 2, maka didapat :
alog (1-3log ) = 2
alog (1-3log ) = alog a2
nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan :
1-3log = a2
3log 3 – 3log = a2
3log 3 – 3log 3(-3)= a2
3log = a2
3log 34 = a2
4 = a2
Sehingga diperoleh nilai a = 2
